Question

選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=x²-x+1，實數a滿足|x-a|＜1，求證：|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）．

Answer 1

分析：化簡|f（x）-f（a）|為|x-a||x+a-1|，小于|x+a-1|即|（x-a）+（2a-1）|．再由|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1，從而證得結論．

解答：證明：∵函數f（x）=x²-x+1，實數a滿足|x-a|＜1，
∴|f（x）-f（a）|=|x²-x+1-（a²-a+1）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|
=|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1=2（|a|+1），
即|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）成立．

點評：本題主要考查絕對值不等式的性質的應用，屬于中檔題．