Question

12．已知函數(shù)g（x）=x+sinx，當x∈R時，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增，定點M（-1，2），動點P（x，y）滿足不等式g（y²-2y+3）+g（x²-4x+1）≤0恒成立，則|PM|的取值范圍[$\sqrt{10}$-1，$\sqrt{10}$+1]．

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進行轉(zhuǎn)化，利用點和圓的位置關系，進行求解即可．

解答 解：∵f（x）=x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-x-sinx=-（x+sinx）=-f（x），
即f（x）=x+sinx（x∈R）是奇函數(shù)，
∵g（y²-2y+3）+g（x²-4x+1）≤0，
∴g（y²-2y+3）≤-g（x²-4x+1）=g[-（x²-4x+1）]，
∵函數(shù)g（x）單調(diào)遞增．
∴y²-2y+3≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∴不等式對應的平面區(qū)域為圓心為C（2，1），半徑為1的圓及其內(nèi)部．
則|CM|=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，
則|PM|的最大值為$\sqrt{10}$+1，最小值為$\sqrt{10}$-1，
即$\sqrt{10}$-1≤|PM|≤$\sqrt{10}$+1，
即|PM|的取值范圍是[$\sqrt{10}$-1，$\sqrt{10}$+1]．
故答案為：[$\sqrt{10}$-1，$\sqrt{10}$+1]．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及兩點間的距離的取值范圍，綜合性較強，運算量較大，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．