Question

橢圓上有一點P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的左、右焦點，△F₁PF₂為直角三角形，則這樣的點P有

1. A.
   3個
2. B.
   4個
3. C.
   6個
4. D.
   8個

Answer 1

C
分析：本題中當(dāng)橢圓短軸的端點與兩焦點的張角小于90°時，∠P為直角的情況不存在，此時等價于橢圓的離心率小于；當(dāng)橢圓短軸的端點與兩焦點的張角等于90°時，符合要求的點P有兩個，即短軸的兩個端點，此時等價于橢圓的離心率等于；當(dāng)橢圓短軸的端點與兩焦點的張角大于90°時，根據(jù)橢圓關(guān)于y軸對稱這個的點P有兩個．
解答：當(dāng)∠F₁為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性，這樣的點P有兩個；
同理當(dāng)∠F₂為直角時，這樣的點P有兩個；
由于橢圓的短軸端點與兩個焦點所張的角最大，這里這個角恰好是直角，這時這樣的點P也有兩個．
故符合要求的點P有六個．
故選C．
點評：根據(jù)△F₁PF₂中三個內(nèi)角那個是直角進(jìn)行分類討論，數(shù)形結(jié)合、根據(jù)橢圓是對稱性進(jìn)行分析判斷．