Question

17．已知數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，且a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁+a₄=9，a₂a₃=8．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{3}）=9}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得并利用數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列即可得出；
（2）由數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ（n∈N^*），利用遞推關(guān)系可得：$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）+2]•2^n-1，化為：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$．可得b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}，n=1}\\{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}，n≥2}\end{array}\right.$．再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁+a₄=9，a₂a₃=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}（1+{q}^{3}）=9}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得a₁=1，q=2；或a₁=8，q=$\frac{1}{2}$．
∵數(shù)列{a_n}是遞增的等比數(shù)列，∴a₁=8，q=$\frac{1}{2}$舍去．
∴a₁=1，q=2；
∴a_n=2^n-1．
（2）∵數(shù)列{b_n}滿足$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ（n∈N^*），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{_{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{_{n-1}}$=[（n-1）²+（n-1）+2]•2^n-1，
可得$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{_{n}}$=（n²+n+2）•2ⁿ-[（n-1）²+（n-1）+2]•2^n-1，化為：b_n=$\frac{1}{{n}^{2}+3n+2}$．
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{_{1}}$=8，∴b₁=$\frac{1}{8}$．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{8}，n=1}\\{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{8}$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$=$\frac{11}{24}$-$\frac{1}{n+2}$．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{11}{24}$-$\frac{1}{n+2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其單調(diào)性、遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．