Question

10．已知f（x）=x²+2ax+2
（1）當a=-1時，求函數的最小值；
（2）求a的取值范圍，使得函數在區(qū)間[5，+∞]上為單調增函數；
（3）試求函數在區(qū)間[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）將a=-1代入，結合二次函數的性質，從而求出函數的最小值；
（2）先求出函數的導數，結合函數的單調性得到不等式，解出即可；
（3）先求出函數的對稱軸，通過討論a的范圍，得到函數的單調性，從而求出函數的最小值．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴f（x）的最小值是1；
（2）f′（x）=2x+2a，
若函數在區(qū)間[5，+∞]上為單調增函數，
只需f′（x）=2x+2a≥0在[5，+∞）恒成立，
即a≥-x在[5，+∞）恒成立，
∴a≥-5；
（3）函數f（x）的對稱軸是：x=-a，
①當-a≤1，即a≥-1時，f（x）在[1，2]遞增，
f（x）_最小值=f（1）=2a+3，
②當1≤-a≤2，即-2≤a≤-1時，
f（x）_最小值=f（-a）=-a²+2，
③-a≥2，即a≤-2時，f（x）在[1，2]遞減，
f（x）_最小值=f（2）=4a+6．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性問題，考查導數的應用，是一道中檔題．