Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）若，且平面平面，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】試題分析：（1）推導(dǎo)出，從而平面，由此能證明．
（2）取中點(diǎn)，連接， ，以為原點(diǎn)， 、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面與平面所成的二面角的余弦值．

試題解析：（1）證明：∵是菱形，∴，

又平面， 平面，

∴平面，

∵四點(diǎn)共面，且面面，

∴.

（2）解：取中點(diǎn)，連接， ，

∵，∴，

∵平面平面，平面平面，

∴面，

∴，在菱形中，∵， ， 是中點(diǎn)，

∴，

如圖，以為原點(diǎn)， 、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由得， ， ， ， ，

， .

又∵，點(diǎn)是棱中點(diǎn)，∴點(diǎn)是棱中點(diǎn)，

∴， ， ，

設(shè)平面的法向量為，

則有， ，取，則.

∵平面，∴是平面的一個法向量，

，二面角的余弦值為，

∴平面與平面所成的二面角的余弦值為.