Question

（本小題滿分12分）

四棱錐S－ABCD中，側面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分別是AB、SC的中點．

(Ⅰ)求證：MN∥平面SAD；

(Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明略，（Ⅱ）

【解析】

試題分析：要證明線面平行先尋求線線平行，由于M、N分別是AB、SC的中點，取的中點，連接

，然后證明四邊形是平行四邊形即可，第二步求二面角可用空間向量法，首先取、的中點、，連結OS，過作AD的垂線交BC于G，分別以OA，OG，OS為x，y，z軸，建立坐標系，寫出相關點的坐標，由于平面的法向量為，本題只需求平面的法向量，最后利用二面角公式 借助法向量坐標求出二面角的余弦值.

試題解析：(Ⅰ)如圖，取的中點，連結，

則，且，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面外，所以平面．

(Ⅱ)取的中點，連結，過作的垂線交于，分別以，，為軸，建立坐標系，，，，，，

設面的法向量為,

則有

令，，取面ABCD的法向量，

則，

所以二面角的余弦值為.

[解法二]:如圖，取的中點，連結、，連結SH，由，且面⊥面，所以平面，易得，所以，則，所以，則有，所以是二面角的平面角，

設，則，，，，，

則，所以二面角的余弦值為．

考點：1.線面平行判定定理；2.二面角的求法；