Question

如圖，α⊥B,α∩B=l,A∈α,B∈B,點(diǎn)A在直線l上的射影為A₁，點(diǎn)B在l上的射影為B₁.已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：

（1）直線AB分別與平面α,B所成角的大��；

（2）二面角A₁—AB—B₁的大小.

Answer 1

解：（1）如圖,連結(jié)A₁B，AB₁.

∵α⊥B,α∩B=l,AA₁⊥l,BB₁⊥l,

∴AA₁⊥B,BB₁⊥α,

    則∠BAB₁，∠ABA₁分別是AB與α和B所成的角.Rt△BB₁A中,BB₁=,AB=2.

∴sinBAB₁=,

∴∠BAB₁=45°.

Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2.

∴sinABA₁=.

∴∠ABA₁=30°.

    故AB與平面α,B所成的角分別是45°,30°.

（2）∵BB₁⊥α,∴平面ABB₁⊥α,在平面α內(nèi)過A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，則A₁E⊥平面AB₁B，過E作EF⊥AB交AB于F，連結(jié)A₁F，則由三垂線定理得A₁E⊥AB.

∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角.

    在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°,∴AB₁=B₁B=.

    在Rt△AA₁B₁中,AA₁=A₁B₁=1,∴A₁E=AB₁=.

    在Rt△AA₁B中,A₁B=.

    由AA₁·A₁B=A₁F·AB,得A₁F=,

∴在Rt△A₁EF中,sinA₁FE=.

∴二面角A₁—AB—B₁的大小為arcsin.