Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}中，對(duì)任何正整數(shù)n都有：．
（1）若數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為1和公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為，把已知式中的n換成n-1，兩式相減求得a_n=n，經(jīng)檢驗(yàn)對(duì)第一項(xiàng)也成立，而得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n．
（2）由（1）知，a_nb_n=n•2^n-1，故＜+++…+=1+-＜．
解答：解：（1）依題意，數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為，
由，
可得（n≥2），
兩式相減可得，即a_n=n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，從而對(duì)一切n∈N^*，都有a_n=n．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=n．
（2）證明：由（1）知，a_nb_n=n•2^n-1，
故=+++…+＜+++…+（n≥3）．
∴＜+++…+=1+=1+-＜．
即成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，用放縮法證明不等式，屬于中檔題．