Question

已知f(x)=x³-2ax²-3x(a＞0).

(1)當(dāng)0＜a≤時(shí)，求證在(-1，1)內(nèi)是減函數(shù)；

(2)若y=f(x)在(-1，1)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)f′(x)=2x²-4ax-3,∵0＜a≤,∴

且二次函數(shù)的開口向上，∴x∈(-1,1)時(shí)f′(x)＜0,

故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù).                                                   

(2)設(shè)極值點(diǎn)為x₀∈(-1,1)時(shí)，則f′(x₀)=0.當(dāng)a＞時(shí),∵

∴在(-1，x₀)內(nèi)f′(x)＞0，在(x₀,1)內(nèi)f′(x)＜0,

即f(x)在(-1，x₀)上是增函數(shù)，f(x)在(x₀,1)內(nèi)是減函數(shù).

∴a＞時(shí),f(x)在(-1，1)內(nèi)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn).

當(dāng)0≤a≤，由(1)知f(x)在(-1，1)內(nèi)沒有極值點(diǎn),

故所求a的范圍是(，+∞).