Question

(19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，對甲項(xiàng)目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項(xiàng)目的利潤與產(chǎn)品價(jià)格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中,價(jià)格下降的概率都是,設(shè)乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整,記乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對乙項(xiàng)目每投資十萬元, 取0、1、2時(shí), 一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機(jī)變量、分別表示對甲、乙兩項(xiàng)目各投資十萬元一年后的利潤.

(I)  求、的概率分布和數(shù)學(xué)期望、;

(II)  當(dāng)時(shí),求的取值范圍.

Answer 1

本小題主要考查二項(xiàng)分布、分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運(yùn)用概率知識解決實(shí)際問題的能力.

 (Ⅰ)解法一：ξ₁的概率分布為

 

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

 

Eξ₁=1.2×=1.18.

由題設(shè)得ξ-B（2，p），即ξ的概率分布為

ξ	0	1	2
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

 

故ξ₂的概率分而為

ξ2	1.3	1.25	0.2
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

 

所以ξ₂的數(shù)學(xué)期望為

Eξ₂=1.3×(1-p)²+1.25×2p(1-p)+0.2×p²

      =1.3×(1-2p+p²)+2.5×(p-p²)+0.2×p²

      =-p²-0.1p+1.3.

 

解法二：ξ₁的概率分布為

ξ1	1.2	1.18	1.17
P

 

Eξ₁=1.2×    =1.18.

 

設(shè)A_i表示事件“第1次調(diào)整，價(jià)格下降”（i=1，2），則

P（ξ=0）=P（₁）P（₂）=（1-p）²，

P（ξ=1）=P（A₁）P（₂）+P（₁）P（A₂）

         =2p（1-p）

P（ξ=2）=P（A₁）P（A₂）=p².

 

故ξ₂的概率分布為

 

ξ2	1．3	1．25	0．2
P	（1-p）2	2p（1-p）	p2

 

所以ξ₂的數(shù)學(xué)期望為

Eξ₂=1.3×(1-p)²+1.25×2p(1-p)+0.2×p²

    =1.3×(1-2p+p²)+2.5×(p-p²)+0.2×P²

     = -p²-0.1p+1.3.

 

(Ⅱ)解：由Eξ₁＜Eξ₂，得

-p²-0.1p+1.3＞1.18.

整理得

（p+0.4）(p-0.3)＜0,

解得

-0.4＜p＜0.3.

因?yàn)?＜p＜1,所以，當(dāng)Eξ₁＜Eξ₂時(shí)，p的取值范圍是

0＜p＜0.3.