Question

14．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°．E為線段AB的中點，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，使面A′DE⊥平面BCD，F(xiàn)為線段A′C的中點．
（Ⅰ）求證：BF∥面A′DE；
（Ⅱ）求證：CE⊥平面A′DE
（Ⅲ）若BC=2，求三棱錐A′-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長CB交DE于點G，連接A'G，證明FB∥A'G，即可證明BF∥面A′DE；
（Ⅱ）證明CE⊥DE，利用面A'DE⊥面CDE，證明CE⊥平面A′DE
（Ⅲ）取A′E的中點N，連接FN，證明FN是三棱錐F-A′DE的高，即可求三棱錐A′-DEF的體積．

解答 （I）證明：延長CB交DE于點G，連接A'G，
在△GDC中，E為AB中點，且EB∥DC，所以B為GC中點．
在△A'GC中，F(xiàn)為A'C中點，B為GC中點，
所以FB∥A'G．
因為FB?面A'DE，A'G?面A'DE，所以FB∥面A'DE…（4分）
（II）證明：在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4，
因為∠ABC=120°，
所以∠DAE=60°，且DE=AD=AE=EB=BC=2，
所以∠DEA=∠DAE=60°，∠BEC=∠ECB=30°，
所以∠DEC=90°，即CE⊥DE，…（6分）
因為面A'DE⊥面CDE，所以CE⊥平面A′DE…（7分）
（III）解：取A′E的中點N，連接FN，
由F為線段B的中點，得FN是C的中位線，所以FN∥CE，所以FN⊥平面A′DE，
即FN是三棱錐F-A′DE的高．…（8分）

在△EBC中，EB=BC=2，∠ABC=120°，由余弦定理得EC=2$\sqrt{3}$，所以FN=$\sqrt{3}$
S_△ADE=S_△A′DE=$\frac{1}{2}×DA×DE×sin60°$=$\sqrt{3}$，
所以三棱錐A′-DEF的體積V=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．…（12分）

點評 本題考查線面平行、垂直的判定，考查三棱錐A′-DEF的體積，同時考查空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．