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已知數(shù)列的首項a1＝5，前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．

(1)

證明：數(shù)列｛an＋1｝是等比數(shù)列

(2)

令f(x)＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函數(shù)f(x)在點x＝1處的導(dǎo)數(shù)，(1)

答案：
解析：

(1)

　　解析：由已知Sn+1＝2Sn＋n＋5，得n≥2時，Sn＝2sn-l＋n＋4．

　　兩式相減，得Sn+1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1

　　即an+1＝2an＋1，從而an+1＋1＝2(an＋1)．

　　當n＝1時，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1＋6．

　　又a1＝5，∴a2＝11，從而a2＋1＝2(a1＋1)．

　　故總有　an+1＋1＝2(an＋1)，n∈N*．

　　又∵a1＝5，∴an＋1≠0，從而＝2

　　即｛an＋1｝是以a1＋1＝6為首項，2為公比的等比數(shù)列．

(2)

　　解析：由(1)得an＝3×2n－1．

　　∵f(x)＝a1x＋a2x2＋…anxn，

　　∴(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1．

　　從而(1)＝a1＋2a2＋…＋nan

　�。�(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n(3×2n－1)

　�。�3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋…＋n)

　　＝3［n×2n+1－(2＋…＋2n)］－

　�。�3［n×2n+1－2n+1＋2］－

　�。�3(n－1)·2n+1－＋6．

　　點評：本題要注意在n≥2時，an+1＋1＝2(an＋1)成立，不包括a2＋1＝2(a1＋1)，需補充驗證．


練習冊系列答案
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(2)記數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，求

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(Ⅰ)設(shè)bn＝an＋1，求數(shù)列{bn}的通項公式；

(Ⅱ)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

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已知數(shù)列{an}的首項a1＝，an+1＝，n＝1，2，…．

(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

(2)記Sn＝＋＋…，若Sn＜100，求最大正整數(shù)n．

(3)是否存在互不相等的正整數(shù)m，s，n，使m，s，n成等差數(shù)列且am－1，a5－1，an－1成等比數(shù)列，如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由．

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（12分）已知數(shù)列｛｝的首項a1＝5，前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5

    （1）求證｛1＋｝為等比數(shù)列，并求數(shù)列｛｝的通項公式；

    （2）是數(shù)列｛｝前n項和，求Tn．

 

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