Question

19．盒子中共有8個球，其中4個紅球，3個綠球，1個黃球，這些球除顏色外其他完全相同．
（Ⅰ）從盒子中一次隨機取出2個球，求取出的2個球顏色相同的概率；
（Ⅱ）從盒子中一次隨機抽取3個球，每取得1個紅球記1分，取得1個綠球記2分，取得1個黃球記3分，設X為取出3個球所得的分數之和，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A表示事件事件“從盒子中一次隨機取出2個球的顏色相同”，利用互斥事件加法公式能求出從盒子中一次隨機取出2個球，取出的2個球顏色相同的概率．
（Ⅱ）依題意，X的所有可能取值為3，4，5，6，7，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（Ⅰ）設A表示事件事件“從盒子中一次隨機取出2個球的顏色相同”，
則P（A）=$\frac{{C}_{4}^{2}+{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{9}{28}$，
∴從盒子中一次隨機取出2個球，取出的2個球顏色相同的概率為$\frac{9}{28}$．
（Ⅱ）依題意，X的所有可能取值為3，4，5，6，7，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{1}{14}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{9}{28}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{9}{28}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{3}^{3}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{13}{56}$，
P（X=7）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{3}}$=$\frac{3}{56}$，
∴X的分布列為：

X	3	4	5	6	7
P	$\frac{1}{14}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{9}{28}$	$\frac{13}{56}$	$\frac{3}{56}$

EX=$3×\frac{1}{14}+4×\frac{9}{28}+5×\frac{9}{28}$+$6×\frac{13}{56}+7×\frac{3}{56}$=$\frac{39}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．