Question

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若對任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分類討論，詳見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)后，分別在、和三種情況下求得的正負(fù)，由此可確定單調(diào)性；

（Ⅱ）令，分別在、和三種情況下，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性和最值，進(jìn)而確定符合題意的取值范圍.

（Ⅰ）由題意得：定義域?yàn)?/span>，

則，

①當(dāng)時(shí)，

由可得：或；由可得：；

的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

②當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

③當(dāng)時(shí)，

由可得：或；由可得：；

的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）令，則，

，

①當(dāng)時(shí)，令，解得：，，

，，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

，滿足題意；

②當(dāng)時(shí)，由①知：，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)，，不合題意；

③當(dāng)時(shí)，，則，在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.