Question

已知在△ABC中，∠A，

1

2

∠B，∠C成等差數(shù)列，最大邊長(zhǎng)為x，最小邊長(zhǎng)為1
（Ⅰ）求sinA+sinC的最大值；
（Ⅱ）用λ（x）表示△ABC的周長(zhǎng)與面積的比，求λ（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：解三角形

分析：（Ⅰ）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)和內(nèi)角和定理求出B，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)sinA+sinC，利用角的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出式子的最大值；
（Ⅱ）由題意求出三角形的第三邊，求出λ（x）的表達(dá)式，利用分離常數(shù)法求出λ（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)椤螦，

1

2

∠B，∠C成等差數(shù)列，
所以2×

1

2

∠B=∠A+∠C，則∠B=∠A+∠C，
又∠A+∠B+∠C=π，所以∠B=

π

2

，
則sinA+sinC=sinA+sin（

π

2

-A）=sinA+cosA=

2

sin(A+

π

4

)，
因?yàn)?＜A＜

π

2

，所以

π

4

＜A+

π

4

＜

3π

4

，
當(dāng)A+

π

4

=

π

2

時(shí)，即A=

π

4

，sinA+sinC取到最大值是

2

；
（Ⅱ）因?yàn)椤螧=

π

2

，且最大邊長(zhǎng)為x，最小邊長(zhǎng)為1，
所以另外一條直角邊為

x2-1

（x＞1），
則λ（x）=

1+x+ x2-1

1 2 ×1× x2-1

=2（

1+x+ x2-1

x2-1

）=2（1+

1+x

(x+1)(x-1)

）
=2（1+

x+1 x-1

）=2（1+

x-1+2 x-1

）=2（1+

1+ 2 x-1

）＞4，
所以λ（x）的值域是（4，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，內(nèi)角和定理，誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查分離常數(shù)法化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，比較綜合．