Question

15．給出下列四個命題：
①函數(shù)y=$\frac{|x+3|-3}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$為奇函數(shù)；
②y=2${\;}^{\sqrt{x}}$的值域是（1，+∞）
③函數(shù)y=$\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
④若函數(shù)f（2^x）的定義域為[1，2]，則函數(shù)y=f（$\frac{x}{2}$）定義域為[4，8]
其中正確命題的序號是①④．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①先求出函數(shù)的定義域，進行化簡結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義進行判斷．
②根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷．
③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷．
④根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進行判斷即可．

解答 解：①由2-x²＞0得-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，則函數(shù)的定義域為（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
則函數(shù)y=$\frac{|x+3|-3}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=$\frac{x+3-3}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=$\frac{x}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$，則f（-x）=$\frac{-x}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=-$\frac{x}{\sqrt{2-{x}^{2}}}$=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；故①正確，
②y=2${\;}^{\sqrt{x}}$≥2⁰=1，即函數(shù)的值域是[1，+∞），故②錯誤，
③函數(shù)y=$\frac{1}{x}$在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故③錯誤；
④若函數(shù)f（2^x）的定義域為[1，2]，則1≤x≤2，則2≤2^x≤4，即函數(shù)f（x）的定義域為[2，4]，
由2≤$\frac{x}{2}$≤4，得4≤x≤8，即函數(shù)y=f（$\frac{x}{2}$）定義域為[4，8]，故④正確，
故答案為：①④

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，知識點較多，綜合性較強，難度不大．