Question

20．正實(shí)數(shù)x，y滿足xy+x+2y=6，則xy的最大值為2，x+y的最小值為$4\sqrt{2}-3$．

Answer 1

分析 正數(shù)x，y滿足xy+x+2y=6，可得x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．可得xy=$\frac{y（6-2y）}{y+1}$，x+y=$\frac{6-2y}{y+1}$+y，化簡(jiǎn)整理利用基本不等式即可得出．

解答 解：∵正數(shù)x，y滿足xy+x+2y=6，
∴x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．
∴xy=$\frac{y（6-2y）}{y+1}$=-2（y+1+$\frac{4}{y+1}$）+10
≤-2×2$\sqrt{（y+1）•\frac{4}{y+1}}$+10=2，當(dāng)且僅當(dāng)y=1，x=2時(shí)取等號(hào)．
∴xy的最大值為2．
∵正數(shù)x，y滿足xy+x+2y=6，
∴x=$\frac{6-2y}{y+1}$＞0，解得0＜y＜3．
∴x+y=$\frac{6-2y}{y+1}$+y=（y+1）+$\frac{8}{y+1}$-3
≥2$\sqrt{（y+1）•\frac{8}{y+1}}$-3=4$\sqrt{2}$-3，當(dāng)且僅當(dāng)y=2$\sqrt{2}$-1，x=2$\sqrt{2}$-2時(shí)取等號(hào)．
∴x+y的最小值為4$\sqrt{2}$-3．
故答案為：2，$4\sqrt{2}-3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力，屬于中檔題．