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三棱錐P－ABC中，PA=a，AB=AC=2a，∠PAB＝∠PAC=∠BAC＝60°，求三棱錐P－ABC的體積．

答案：略
解析：

解法一：如圖，設P在底面的射影為O，連結OE、PE．依題意，得

△PAB中AB邊上的高，進而求得，．

解法二：取AB、AC的中點M、N，則三棱錐P－AMN是棱長為a的正四面體，∴，從而．

解法三：延長AP至Q，使AQ＝2a，連結QB、QC，則三棱錐Q－ABC是棱長為2a的正四面體，∴，

∴．

解法四：在△ABC中．∵PA=a，AB＝2a，∠PAB＝60°，由余弦定理得，，∴∠APB＝90°．同理∠APC＝90°，∴AP⊥平面PBC．

∴，∴．

　


提示：

在三棱錐的等積變換過程中，常用的一種方法是變換頂點和底面的位置．


練習冊系列答案
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如圖，在三棱錐P－ABC中，點O、D分別是AC、PC的中點，

求證：OD∥平面PAB．

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本小題滿分12分）

已知三棱錐P­ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，

N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點．

(I)證明：CM⊥SN；(II)求SN與平面CMN所成角的大�。�

 

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科目：高中數(shù)學 來源：新課標高三數(shù)學直線、平面、簡單幾何體專項訓練（河北） 題型：解答題

如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝3，M為AB的中點，四點P、A、M、C都在球O的球面上．

(1)證明：平面PAB⊥平面PCM；

(2)證明：線段PC的中點為球O的球心

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（遼寧卷）理科數(shù)學 題型：解答題

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小.

 

 

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年廣東省山一高二上學期第二次月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

（14分）

已知三棱錐P－ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=½AB，N為AB上一點，AB=4AN,M,S分別為PB,BC的中點.

（Ⅰ）證明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN與平面CMN所成角的大小。

 

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