Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC，△ABC和△ABB₁都是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）過B₁作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并證明；
（Ⅱ）求AC₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AB中點為O，連OC，OB₁，B₁C，則截面OB₁C為所求，通過證明AB⊥OC，AB⊥OB₁，推出AB⊥平面OB₁C．
（Ⅱ）以O(shè)為原點，OB方向為x軸方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCC₁B₁的一個法向量，入會利用空間向量的數(shù)量積求解AC₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)AB中點為O，連OC，OB₁，B₁C，則截面OB₁C為所求，…（3分）

證明：OC，OB₁分別為△ABC，△ABB₁的中線，所以AB⊥OC，AB⊥OB₁，
又OC，OB₁為平面OB₁C內(nèi)的兩條相交直線，所以AB⊥平面OB₁C，…（6分）
（Ⅱ）以O(shè)為原點，OB方向為x軸方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易求得B（1，0，0），A（-1，0，0），$C（0，\sqrt{3}，0），{B_1}（0，0，\sqrt{3}），{C_1}（-1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$$\overrightarrow{CB}=（1，-\sqrt{3}，0），\overrightarrow{{B_1}B}=（1，0，-\sqrt{3}），\overrightarrow{A{C_1}}=（0，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，

…（8分）
設(shè)平面BCC₁B₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{CB}\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{{B_1}B}\end{array}\right.?\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{3}y=0\\ x-\sqrt{3}z=0\end{array}\right.$解得平面BCC₁B₁的一個法向量為$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1，1）$，…（10分）
$|cos＜\overrightarrow{A{C_1}}，\overrightarrow n＞|=\frac{{|\overrightarrow{A{C_1}}•\overrightarrow n|}}{{|\overrightarrow{A{C_1}}|•|\overrightarrow n|}}=\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{3}}}{{\sqrt{6}•\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，
所以AC₁與平面BCC₁B₁所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．