Question

2．若滿足不等式（x-3+a）•ln$\frac{x}{a}$＜0的整數(shù)x有且僅有2個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，1）∪（2，3]．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，通過討論a的范圍，求出x的范圍，結(jié)合整數(shù)x有且僅有2個(gè)，從而求出a的范圍．

解答 解：由（x-3+a）•ln$\frac{x}{a}$＜0，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x-3+a＜0}\\{ln\frac{x}{a}＞0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{x-3+a＞0}\\{ln\frac{x}{a}＜0}\end{array}\right.$②，
由①得：$\left\{\begin{array}{l}{x＜3-a}\\{\frac{x}{a}＞1}\end{array}\right.$，
a＞0時(shí)：得：a＜x＜3-a，
滿足條件的整數(shù)x有且僅有2個(gè)，
∴0＜a＜1；
a＜0時(shí)：解得x＜a，不合題意；
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{x＞3-a}\\{0＜\frac{x}{a}＜1}\end{array}\right.$，
a＞0時(shí)：x＞0，x＜a，
∴3-a＜x＜a，3-a≥0，a≤3，
滿足條件的整數(shù)x有且僅有2個(gè)，
∴2＜a≤3；
a＜0時(shí)：x＜0，x＞a，
∴x＞3-x＞0，不合題意；
綜上：a的范圍是（0，1）∪（2，3]，
故答案為：（0，1）∪（2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解不等式問題，考查分類討論思想，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道中檔題．