Question

已知對于任意兩個實數(shù)x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，
（1）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（2）若f（-3）=2，求f（2）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0可求得f（0）=0，令y=-x可得f（-x）+f（x）=0，根據(jù)奇函數(shù)的定義可作出判斷；
（2）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)及f（-3）=2可求得f（3），再根據(jù)f（x+y）=f（x）+f（y）可求得f（1），從而可得f（2）=f（1）+f（1）；

解答：解：（1）取x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），得f（0）=0；
取y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函數(shù)；
（2）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（3）=-f（-3）=-2，
又∵f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+[f（1）+f（1）]=3f（1），
∴f(1)=-

2

3

，f(2)=f(1)+f(1)=-

4

3

．

點評：本題考查抽象函數(shù)奇偶性的判斷及抽象函數(shù)求值，屬中檔題，抽象函數(shù)的性質(zhì)常用定義解決．