Question

2．如圖甲，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，$AD=2\sqrt{2}，AB=3$，將矩形ABCD沿EF折起，如圖乙，使平面CDEF⊥平面ABFE，點M是AD的中點，點N在AB上運動．
（1）證明：EM⊥CN；
（2）若三棱錐C-BFN的頂點都在體積為$\frac{{8\sqrt{2}π}}{3}$的球面上，求三棱錐C-BFN的體積．

Answer 1

分析 （I）由EF⊥平面ADE得出EF⊥平面ADE得出AB⊥平面ADE，故而AB⊥EM，結合EM⊥AD得出EM⊥平面ABCD，故結論成立；
（II）由CN為三棱錐C-BFN的外接球的直徑得出BN，從而計算棱錐的體積．

解答 證明：（Ⅰ）∵EF是矩形ABCD的中位線，
∴EF⊥AE，EF⊥DE，
∴EF⊥平面AED．又AB∥EF，
∴AB⊥平面AED，又EM?平面AED，
∴EM⊥AB，
又在等腰△AED中，M是AD中點，
∴EM⊥AD，
∴EM⊥平面ABCD，又CN?平面ABCD，
∴EM⊥CN．
解：（Ⅱ）設三棱錐C-BFN的外接球半徑為r，則$\frac{4}{3}π{r}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}π$，
解得r=$\sqrt{2}$．∴CN=2r=2$\sqrt{2}$．
∴BN²+BF²+CF²=CN²=8，
∴BN=2，
V_C-BFN=$\frac{1}{3}{S}_{△BFN}$•CF=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×2×\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐與外接球的位置關系，棱錐的體積計算，屬于中檔題．