Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，證明：；

（2）設(shè)，為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為為方程的兩不等正根，再利用韋達(dá)定理和基本不等式即可證明；

（2）要證明，只要證明和，分別利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行證明即可.

(1)當(dāng)時(shí)，，

，

為的兩個(gè)不同極值點(diǎn)，

為方程的兩不等正根，

，

且由韋達(dá)定理，

，

.

（2）要證明，

即，

下面分別證明和，

兩式相加即得結(jié)論.

（i），

令，

即證.

令函數(shù)，則，

在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

.

（ii）再證明，

即.

為的兩個(gè)不同零點(diǎn)，不妨設(shè)，

①

②

①-②可得，

兩邊同時(shí)乘以，

可得，

即.

令，則.

即證，

即，

即證.

令函數(shù)，

則，

在單調(diào)遞增，

.

由（i）（ii）可得，

.