Question

4．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=2，（\overrightarrow a-\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a$，則$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角是$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$⊥$\overrightarrow{a}$，可得$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，再利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：∵$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$⊥$\overrightarrow{a}$，
∴$（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$•$\overrightarrow{a}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角是$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查了向量夾角公式、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．