Question

5．已知a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，若函數f（x）=log_ax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）求a的值；    
（2）求不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}$（a-x）的解集；
（3）設方程${log_{2a}}x={（\frac{1}{2a}）^x}\;，\;{log_{\frac{1}{2a}}}x={（\frac{1}{2a}）^x}$的根分別為x₁，x₂，求x₁x₂的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由對數函數的單調性可得a＞1，可得最值，即有l(wèi)og_a2a-log_aa=1，解得a=2；
（2）由題意運用對數函數的單調性可得0＜x-1＜2-x，解不等式可得解集；
（3）由y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$和y=（$\frac{1}{4}$）^x的圖象關于直線y=x對稱，可得x₂=$\frac{1}{2}$，再由g（x）=log₄x-（$\frac{1}{4}$）^x，求得零點的范圍，即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由a＞0，a≠1且log_a3＞log_a2，可得a＞1，
f（x）=log_ax在區(qū)間[a，2a]上遞增，可得
log_a2a-log_aa=1，解得a=2；
（2）不等式${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}$（a-x），
即為${log_{\frac{1}{3}}}（x-1）＞{log_{\frac{1}{3}}}$（2-x），
即0＜x-1＜2-x，解得1＜x＜$\frac{3}{2}$，
則不等式的解集為（1，$\frac{3}{2}$）；
（3）由題意可得方程log₄x=（$\frac{1}{4}$）^x，$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$=（$\frac{1}{4}$）^x的根分別為x₁，x₂，
由y=$lo{g}_{\frac{1}{4}}x$和y=（$\frac{1}{4}$）^x的圖象關于直線y=x對稱，
可得x₂=$\frac{1}{2}$，
令g（x）=log₄x-（$\frac{1}{4}$）^x，則g（x）在（0，+∞）遞增，
由g（1）=log₄1-$\frac{1}{4}$=-$\frac{1}{4}$＜0，g（2）=log₄2-（$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{16}$＞0，
可得g（x）在（1，2）有且只有一個零點，
則1＜x₁＜2，
故x₁x₂的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查函數的單調性的運用：求最值，考查對數不等式的解法和函數零點的問題的解法，考查運算能力，屬于中檔題．