Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）在x∈[0，π]上的最大值和最小值；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（B）=0，b=，c=，求a的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）把函數(shù)解析式的第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，合并后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，由x的范圍求出這個角的范圍，進而得出余弦函數(shù)的值域，可求出函數(shù)的最大值及最小值；
（2）由f（B）=0，得到cos（B+）的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值得出B的度數(shù)，進而求出cosB的值，再由b和c的值，利用余弦定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答：解：函數(shù)
=cosx+（1-cosx）-sinx
=+cosx-sinx
=+cos（x+），
∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，
∴cos（x+）∈[-1，]，
則函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-；
（2）∵f（B）=0，
∴+cos（B+）=0，即cos（B+）=-，
由B為三角形的內(nèi)角，
得出B+=，即B=，又b=，c=，
根據(jù)余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即5=a²+3-a，
解得：a=或a=（舍去），
則a的長度為．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和與差的余弦函數(shù)公式，余弦函數(shù)的值域，余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，第一問利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的余弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵，第二問根據(jù)f（B）=0，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．