Question

四棱錐ABCD中，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是CB、CD的中點(diǎn)，若AC+BD=3，

AC

•

BD

=1，則EG²+FH²=

7

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)EFGH是平行四邊形，而平行四邊形對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和，故有EG2+FH2=2(

HG

2+

EH

2)=[(

1

2

AC

)2+(

1

2

BD

)2]=

1

2

[(

AC

+

BD

)2-2

AC

•

BD

]，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：易知四邊形EFGH是平行四邊形，而平行四邊形對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和，
∴EG2+FH2=2(

HG

2+

EH

2)=2[(

1

2

AC

)2+(

1

2

BD

)2]=

1

2

(AC2+BD2)
=

1

2

[

AC

2+

BD

2]=

1

2

[(

AC

+

BD

)2-2

AC

•

BD

]=

1

2

(32-2×1)=

7

2

，
故答案為

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題．