Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓上的點到左、右焦點F₁、F₂的距離之和為，離心率．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F₁的直線l與橢圓C交于點A、B，以F₂A、F₂B為鄰邊作平行四邊形AF₂BM，求該平行四邊形對角線F₂M的長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得，2a=2，可求a，c，結(jié)合b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓方程
（2）由題意可得，F(xiàn)₂（1，0）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分①斜率不存在時，②當斜率存在時，=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂），利用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可先求，可求
解答：解：（1）由題意可得，2a=2
∴
∵=
∴c=1，b²=a²-c²=1
∴橢圓方程為 
（2）∵，F(xiàn)₂（1，0）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
當斜率不存在時，
當斜率存在時，可設直線AB的方程為y=k（x+1）
聯(lián)立方程可得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0
∴x₁+x₂=，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=
∴=（x₁-1，y₁）+（x₂-1，y₂）=（x₁+x₂-2，y₁+y₂）
∴==
∴ 
F₂M 的長度的取值范圍是（2，4]
點評：本題主要考查了利用橢圓的定義及性質(zhì)求解橢圓的方程及向量加法的平行四邊形 法則的應用，向量的數(shù)量積的坐標表示等知識的綜合應用．