Question

設數(shù)列{a_n}是首項為4,公差為1的等差數(shù)列,S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和,且S_n=n²+2n.

(1)求{a_n}及{b_n}的通項公式a_n和b_n,

(2)若f(n)=問是否存在k∈N^*使f(k+27)=4f(k)成立?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由;

(3)若對任意的正整數(shù)n,不等式≤0恒成立,求正數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

解：(1)a_n=a₁+(n-1)d=4+n-1=n+3.

當n=1時,b₁=S₁=3.當n≥2時,b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-(n-1)²-2(n-1)=2n+1.當n=1時上式也成立,∴b_n=2n+1(n∈N^*).∴a_n=n+3,b_n=2n+1.

(2)假設符合條件的k(k∈N^*)存在.由于f(n)=

∴當k為正奇數(shù)時,k+27為正偶數(shù).由f(k+27)=4f(k),得2(k+27)+1=4(k+3).∴2k=43,k=(舍去).

當k為正偶數(shù)時,k+27為正奇數(shù),由f(k+27)=4f(k),得(k+27)+3=4(2k+1),即7k=26.∴k=(舍去).因此,符合條件的正整數(shù)k不存在.

(3)將不等式變形并把a_n+1=n+4代入,得a≤.

設g(n)=.

∴g(n+1)=.

∴=.

又∵,∴＞1,即g(n+1)＞g(n).

∴g(n)隨n的增大而增大.故g(n)_min=g(1)=(1+)=.∴0＜a≤.