Question

1．若函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對稱，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是（　�。�
A．   B．   C．   D．

• A． ①
• B． ②
• C． ③
• D． ③④

Answer 1

分析 對于①②，直接由圖象得出在a處與b處切線斜率不相等，即可排除答案；
對于③，原函數(shù)為一次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)即可知道其滿足要求；
對于④，先由圖象找到對稱中心即可判斷其成立

解答 解：因為函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（a，b）上的圖象關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對稱，即導(dǎo)函數(shù)要么圖象無增減性，要么是在直線x=$\frac{a+b}{2}$兩側(cè)單調(diào)性相反；
對于①，由圖得，在a處切線斜率最小，在b處切線斜率最大，故導(dǎo)函數(shù)圖象不關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對稱，故①不成立；
對于②，由圖得，在a處切線斜率最大，在b處切線斜率最小，故導(dǎo)函數(shù)圖象不關(guān)于直線x=$\frac{a+b}{2}$對稱，故②不成立；
對于③，由圖得，原函數(shù)為一次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為常數(shù)函數(shù)，故導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線 x=$\frac{a+b}{2}$對稱，故③成立；
對于④，由圖得，原函數(shù)有一對稱中心，在直線x=$\frac{a+b}{2}$與原函數(shù)圖象的交點處，故導(dǎo)函數(shù)圖象關(guān)于直線 x=$\frac{a+b}{2}$對稱，故④成立；
所以，滿足要求的有③④．
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系．做這一類型題目，要注意運用課本定義，是對課本知識的考查，屬于基礎(chǔ)題，但也是易錯題．