Question

3．求f（x）=x-2lnx-$\frac{a（2-a）}{x}$+a²-1的單增區(qū)間．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1-$\frac{2}{x}$+$\frac{a（2-a）}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+a-2）（x-a）}{{x}^{2}}$，（x＞0），
①a≤0時：令f′（x）＞0，解得：x＞2-a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2-a，
∴f（x）在（0，2-a）遞減，在（2-a，+∞）遞增；
②0＜a＜1時：令f′（x）＞0，解得：x＞2-a，或x＜a，令f′（x）＜0，解得：a＜x＜2-a，
∴f（x）在（a，2-a）遞減，在（0，a），（2-a，+∞）遞增；
③1≤a＜2時：令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜2-a，令f′（x）＜0，解得：2-a＜x＜a，
∴f（x）在（2-a，a）遞減，在（0，2-a），（a，+∞）遞增；
④a≥2時：令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：x＜a，
∴f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．