Question

8．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的右焦點為F，點A（3，1），雙曲線上取一點P，則2|PA|+|PF|的最小值為4．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，算出雙曲線的離心率e=2，右準線為l：x=1．作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義得到|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PN|．由平幾知識可得：當A、N、P三點共線時，|PA|+|PN|=|AN|達到最小值，由此即可求出點P的坐標和|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|的最小值．

解答 解∵雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
∴a=2，b=2$\sqrt{3}$，c=4，
可得離心率e=2，右準線為l：x=1，
作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，則
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得|PF|=e|PN|=2|PN|，
∴|PN|=$\frac{1}{2}$|PF|，因此，|PA|+$\frac{1}{2}$|PF|=|PA|+|PN|，
當且僅當A、N、P三點共線時，|PA|+|PN|=|AN|達到最小值為|AN|=3-1=2．
∴2|PA|+|PF|的最小值為4．
故答案為：4．

點評 本題著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識，屬于中檔題．