Question

11．如圖過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點F任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB，若點M在x軸上，且使得MF為△AMB的一條內(nèi)角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”，則橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的“左特征點”M的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （-2，0）
• B． （-3，0）
• C． （-4，0）
• D． （-5，0）

Answer 1

分析 設(shè)M（m，0）為橢圓的左特征點，根據(jù)橢圓左焦點，設(shè)直線AB方程代入橢圓方程，由∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，利用韋達(dá)定理，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（m，0）為橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的左特征點，橢圓的左焦點F（-1，0），
可設(shè)直線AB的方程為x=ky-1（k≠0）
代入$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得：3（ky-1）²+4y²=12，即（3k²+4）y²-6ky-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）得y₁+y₂=$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$
∵∠AMB被x軸平分，k_AM+k_BM=0，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}=0$，
即y₁（ky₂-1）+y₂（ky₁-1）-（y₁+y₂）m=0
∴2ky₁y₂-（y₁+y₂）（m+1）=0
于是，2k×（-$\frac{9}{3{k}^{2}+4}$）-$\frac{6k}{3{k}^{2}+4}$×（m+1）=0
∵k≠0，∴-18-6（m+1）=0，即m=-4，∴M（-4，0）．
故選：C．

點評 本題以新定義為載體主要考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓相交關(guān)系的處理，要注意解題中直線AB得方程設(shè)為x=ky-2（k≠0）的好處在于避免討論直線的斜率是否存在．