Question

9．設f₀（x）=|x|-10，f_n（x）=|f_n-1（x）|-1（n∈N^*），則函數(shù)y=f₂₀（x）的零點個數(shù)為（　�。�

• A． 19
• B． 20
• C． 31
• D． 22

Answer 1

分析 令f_n（x）=|f_n-1（x）|-1=0，則|f_n-1（x）|=1，問題轉(zhuǎn)化為方程|f_n-1（x）|=1的根的個數(shù)，找出規(guī)律：當0≤n≤9時y=f_n（x）=0時的解的個數(shù)為2（n+1）=2n+2個、當n≥10時y=f_n（x）=0時的解的個數(shù)為21+（n-10）=11+n個，進而可得結(jié)論．

解答 解：依題意，令f₀（x）=0，則|x|-10=0，
∴x有2個解±10；
當f₁（x）=0時，即|f₀（x）|-1=0，
∴|x|-10=±1，即x有4個解：±9、±11；
當f₂（x）=0時，即|f₁（x）|-1=0，
∴|f₀（x）|-1=±1，即|x|-10=0、±2，
∴x有6個解：±8、±10、±12；
…
當f₉（x）=0時，x有20個解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19；
當f₁₀（x）=0時，x有21個解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20；
當f₁₁（x）=0時，x有22個解：±1、±3、±5、±7、±9、±11、±13、±15、±17、±19、±21；
當f₁₂（x）=0時，x有23個解：0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22；
∴當0≤n≤9時，y=f_n（x）=0時的解的個數(shù)為2（n+1）=2n+2個，
當n≥10時，y=f_n（x）=0時的解的個數(shù)為21+（n-10）=11+n個，
∴函數(shù)y=f₂₀（x）的零點個數(shù)為11+20=31個．


附：
y=f₂₀（x）=0，
即f₂₀（x）=|f₁₉（x）|-1=0，
即f₁₉（x）=|f₁₈（x）|-1=±1，
即f₁₈（x）=|f₁₇（x）|-1=0、2，
即f₁₇（x）=|f₁₆（x）|-1=±1、3，
即f₁₆（x）=|f₁₅（x）|-1=0、2、4，
即f₁₅（x）=|f₁₄（x）|-1=±1、3、5，
即f₁₄（x）=|f₁₃（x）|-1=0、2、4、6，
即f₁₃（x）=|f₁₂（x）|-1=±1、3、5、7，
即f₁₂（x）=|f₁₁（x）|-1=0、2、4、6、8，
即f₁₁（x）=|f₁₀（x）|-1=±1、3、5、7、9，
即f₁₀（x）=|f₉（x）|-1=0、2、4、6、8、10，
即f₉（x）=|f₈（x）|-1=±1、3、5、7、9、11，
即f₈（x）=|f₇（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12，
即f₇（x）=|f₆（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13，
即f₆（x）=|f₅（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14，
即f₅（x）=|f₄（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15，
即f₄（x）=|f₃（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14、16，
即f₃（x）=|f₂（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17，
即f₂（x）=|f₁（x）|-1=0、2、4、6、8、10、12、14、16、18，
即f₁（x）=|f₀（x）|-1=±1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，
即f₀（x）=|x|-10=0、±2、±4、±6、±8、±10、12、14、16、18、20，
解得：x=0、±2、±4、±6、±8、±10、±12、±14、±16、±18、±20、±22、±24、±26、±28、±30，
∴函數(shù)y=f₂₀（x）的零點個數(shù)為31個，
故選：C．

點評 本題考查求函數(shù)零點的個數(shù)，注意條件中的遞推關系，屬于中檔題．