Question

20．某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作．規(guī)定：至少正確完成其中2題獲得學(xué)分2分，便可通過(guò)考察．已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成：考生乙每題正確完成的概率都是$\frac{2}{3}$，且每題正確完成與否互不影響．求：
（Ⅰ）分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）請(qǐng)你判斷兩考生的實(shí)驗(yàn)操作學(xué)科能力，比較他們能通過(guò)本次考查的可能性大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得甲正確完成題數(shù)X的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲考生正確完成題數(shù)X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；乙正確完成題數(shù)Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），由此能求出乙考生正確完成題數(shù)Y的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）E（X）=E（Y）=2，求出D（X）和D（Y），得到D（X）＜D（Y），再求出P（X≥2）和P（Y≥2），得到P（ξ≥2）＞P（η≥2），由此判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)．

解答 解：（Ⅰ）由已知得甲正確完成題數(shù)X的可能取值為1，2，3，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{3}{5}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{5}$，
∴甲考生正確完成題數(shù)X的概率分布列為：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．
乙正確完成題數(shù)Y的可能取值為0，1，2，3，且Y～B（3，$\frac{2}{3}$），
P（Y=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{1}{27}$，
P（Y=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）^{2}$=$\frac{6}{27}$，
P（Y=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{12}{27}$，
P（Y=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{8}{27}$，
∴甲考生正確完成題數(shù)Y的概率分布列為：

Y	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{8}{27}$

E（Y）=$0×\frac{1}{27}+1×\frac{6}{27}+2×\frac{12}{27}+3×\frac{8}{27}$=2．
（Ⅱ）∵E（X）=E（Y）=2，
D（X）=（1-2）²×$\frac{1}{5}$+（2-2）²×$\frac{3}{5}$+（3-2）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{2}{5}$，
D（Y）=$3×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
D（X）＜D（Y），
∵P（X≥2）=$\frac{3}{5}+\frac{1}{5}$=$\frac{4}{5}$，
P（Y≥2）=$\frac{12}{27}+\frac{8}{27}$=$\frac{20}{27}$，
∴P（ξ≥2）＞P（η≥2）
①?gòu)淖鰧?duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考查，兩人水平相當(dāng)；從做對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；
②從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過(guò)的可能性大，
因此，可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力強(qiáng)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．