Question

9．如圖，線段AB過x軸正半軸上一定點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A，O，B三點作拋物線C．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）已知點P（n，2）為拋物線C上的點，過P（n，2）作傾斜角互補的兩直線PS，PT，分別交拋物線C于S，T．求證：直線ST的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析 （1）設拋物線方程、直線AB的方程，聯(lián)立這兩個方程組消去x，利用兩端點A、B到x軸的距離之積為2m，可求m的值，從而可得拋物線方程；
（2）由S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在拋物線y²=2x上，得到兩方程，作差，結(jié)合斜率公式，可得ST的斜率，同理可得PS，PT的斜率，由k_SP=-k_PT，可得y₁+y₂=-4，由此能夠證明直線ST的斜率為定值．

解答 （1）解：可設拋物線方程為y²=2px（p＞0），
設直線AB的方程為y=k（x-m）（k≠0）…（2分）
聯(lián)立這兩個方程組消去x得，ky²-2py-2pkm=0，…（4分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知得|y₁|•|y₂|=2m，注意到y(tǒng)₁•y₂＜0，所以y₁•y₂=-2m，
又y₁•y₂=-2pm，所以-2m=-2pm，因為m＞0，所以p=1．
所以拋物線方程為y²=2x；…（6分）
（2）證明：∵點P（n，2）為拋物線C上的點，∴n=2，∴P（2，2）．
∵S（x₁，y₁），T（x₂，y₂）在拋物線y²=2x上，
∴y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
∴y₁²-y₂²=2（x₁-x₂），
∵x₁≠x₂，
∴k_ST=$\frac{2}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
同理，k_SP=$\frac{2}{{y}_{1}+2}$，k_PT=$\frac{2}{{y}_{2}+2}$，
∵k_SP=-k_PT，
∴$\frac{2}{{y}_{1}+2}$=-$\frac{2}{{y}_{2}+2}$，
∴y₁+y₂=-4，
故直線ST的斜率k_ST=-$\frac{1}{2}$（定值）．

點評 本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，是高考的重點．