Question

20．已知雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），若雙曲線(xiàn)右支上存在異于頂點(diǎn)的點(diǎn)P滿(mǎn)足c•sin∠PF₁F₂=3a•sin∠PF₂F₁，則雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍是（　　）

• A． $（1，1+\sqrt{7}）$
• B． $（1，2+\sqrt{7}）$
• C． $（3，1+\sqrt{7}）$
• D． （3，2+$\sqrt{7}$）

Answer 1

分析 利用正弦定理及雙曲線(xiàn)的定義，可得a，c的不等式，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍．

解答 解：由正弦定理可得c•PF₂=3a•PF₁，且PF₁-PF₂=2a，
聯(lián)立可得$P{F_2}=\frac{{6{a^2}}}{c-3a}$＞0，即得c-3a＞0，即$e=\frac{c}{a}＞3$，…①
又PF₂＞c-a（由P在雙曲線(xiàn)右支上運(yùn)動(dòng)且異于頂點(diǎn)），
∴PF₂=$\frac{6{a}^{2}}{c-3a}$＞c-a，化簡(jiǎn)可得c²-4ac-3a²＜0，即e²-4e-3＜0，得$1＜e＜2+\sqrt{7}$…②
由①②可得$e∈（3，2+\sqrt{7}）$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍，考查正弦定理及雙曲線(xiàn)的定義，屬于中檔題．