Question

已=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），滿足．
（1）將y表示為x的函數(shù)f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊長，若對所有的x∈R恒成立，且a=2，求b+c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積公式可求出f（x）的解析式，然后利用二倍角公式和輔助角公式進(jìn)行化簡，最后利用周期公式可求出所求；
（2）根據(jù)對所有的x∈R恒成立可求出角A，然后利用余弦定理求出b與c的等量關(guān)系，利用基本不等式和構(gòu)成三角形的條件可求出b+c的取值范圍．
解答：解：（1）∵，=（2cosx+2sinx，1），=（cosx，-y），
∴（2cosx+2sinx）cosx-y=0
即f（x）=（2cosx+2sinx）cosx
=2cos²x+2sinxcosx
=1+cos2x+sin2x
=1+2sin（2x+）
T==π
∴f（x）的最小正周期為π．
（2）∵對所有的x∈R恒成立
∴1+2sin（2x+）≤1+2sin（A+）對所有的x∈R恒成立
即sin（2x+）≤sin（A+）對所有的x∈R恒成立，而A是三角形中的角
∴A=
∴cosA=cos=即b²+c²=4+bc即（b+c）²=4+3bc≤4+3
∴（b+c）²≤16即b+c≤4
而b+c＞a=2
∴2＜b+c≤4即b+c的取值范圍為（2，4]
點(diǎn)評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，同時考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．