Question

2．設x＞0，則$\frac{{{x^2}+x+3}}{x+1}$的最小值為2$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 可令t=x+1（t＞1），則$\frac{{{x^2}+x+3}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+t-1+3}{t}$=t+$\frac{3}{t}$-1，再由基本不等式可得最小值．

解答 解：由x＞0，可得x+1＞1，
可令t=x+1（t＞1），
即x=t-1，
則$\frac{{{x^2}+x+3}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+t-1+3}{t}$
=t+$\frac{3}{t}$-1≥2$\sqrt{t•\frac{3}{t}}$-1=2$\sqrt{3}$-1．
當且僅當t=$\sqrt{3}$，即x=$\sqrt{3}$-1，取得最小值．
故答案為：2$\sqrt{3}$-1．

點評 本題考查函數最值的求法，注意運用換元法和基本不等式，考查運算化簡能力，屬于中檔題．