Question

已知函數(shù)f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．
（Ⅰ）若不等式f（x）+g（x）＞3，求x的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過對x的范圍的討論，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為三個不等式組解即可；
（Ⅱ）利用絕對值不等式，使得f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6≥|（3-x）+（x+1）|-6=-2，從而可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）+g（x）＞3等價于|x-3|-|x+1|＞1，
∴

x≤-1 3-x+x+1＞1

或

-1＜x＜3 3-x-x-1＞1

或

x≥3 x-3-x-1＞1

，
∴x≤-1或-1＜x＜

1

2

，即x＜

1

2

，
∴x的取值范圍是（-∞，

1

2

）．
（Ⅱ）f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6，
∵對于?x∈R，f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6≥|（3-x）+（x+1）|-6=4-6=-2，
當(dāng)且僅當(dāng)（3-x）（x+1）≥0即-1≤x≤3時等號成立．
∴m+1≤-2，
∴m≤-3．即m的取值范圍是（-∞，-3]．

點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，去掉絕對值符號是解決問題的關(guān)鍵，而分類討論思想是去絕對值符號最長用的方法，考查等價轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．