Question

如圖，內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同，從外層橢圓頂點(diǎn)向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，設(shè)內(nèi)層橢圓方程為 ，若直線AC與BD的斜率之積為，則橢圓的離心率為（ ）

A. B. C. D.

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】

試題分析：【方法一】由于內(nèi)層橢圓和外層橢圓的離心率相等，不妨設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線的方程為，則，

消去得，

由，

化簡(jiǎn)得，

同理可得，，

因此，所以，因此，

故橢圓的離心率為.故選C.

【方法二】橢圓在其上一點(diǎn)處的切點(diǎn)方程為，

設(shè)，，由于內(nèi)外兩個(gè)橢圓的離心率相同，則可設(shè)外層橢圓的方程為，則，內(nèi)層橢圓在點(diǎn)C處的切線方程為，而AC的方程為，其斜率為，同理直線BD的方程為，其斜率為，

∴ ①，

直線AC過點(diǎn)，則有，

直線BD過點(diǎn)，則有，∴，

∴，∴，設(shè)，，

不妨設(shè)點(diǎn)C為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則點(diǎn)D為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，則為銳角，為鈍角，

則，∴，則為銳角，∴，

∴，∴，由①式得，

，∴，

∴，∴，∴，故選C.

考點(diǎn)：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.橢圓的離心率；3.直線與橢圓的位置關(guān)系.