Question

2．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=5，a₂=2，a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$．

Answer 1

分析 通過a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3）變形為a_n+λa_n-1=m（a_n-1+λa_n-2）形式計(jì)算可求．

解答 解：∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n+a_n-1=3（a_n-1+a_n-2），
又∵a₂+a₁=2+5=7，
∴數(shù)列{a_n+1+a_n}是以7為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1+a_n=7•3^n-1；
∵a_n=2a_n-1+3a_n-2（n≥3），
∴a_n-3a_n-1=-（a_n-1-3a_n-2），
又∵a₂-3a₁=2-3•5=-13，
∴數(shù)列{a_n+1-3a_n}是以-13為首項(xiàng)、-1為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1-3a_n=-13•（-1）^n-1；
∴a_n=$\frac{（{a}_{n+1}+{a}_{n}）-（{a}_{n+1}-3{a}_{n}）}{4}$=$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$，
故答案為：$\frac{7•{3}^{n-1}+13•（-1）^{n-1}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，對(duì)表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．