Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為圓心的圓與直線x－3y＝4相切．(1)求圓O的方程；(2)圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍．

Answer 1

(Ⅰ)  x2＋y2＝4  (Ⅱ)   （－2，0）

解析:

(Ⅰ)依題知圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x－3y＝4的距離，即r＝41＋3＝2，

∴圓O的方程為x2＋y2＝4．

(Ⅱ)不妨設(shè)A(x1，0)，B(x2，0)，x1＜x2，由x2＝4即得A(－2，0)，B(2，0)，

設(shè)P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，得(x＋2)2＋y2·(x－2)2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2，

→PA·→PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)，由于點(diǎn)P在圓O內(nèi)，故  x2＋y2＜4x2－y2＝2，由此得y2＜1，又∵y2≥0，所以·的取值范圍為（－2，0） ．