Question

在平面直角坐標系中，已知，若實數(shù)λ使得（O為坐標原點）．
（Ⅰ） 求P點的軌跡方程，并討論P點的軌跡類型；
（Ⅱ） 當時，是否存在過點B（0，2）的直線l與（Ⅰ）中P點的軌跡交于不同的兩點E，F(xiàn)（E在B，F(xiàn)之間），且[．若存在，求出該直線的斜率的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ） 由題設(shè)條件，知（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），由此進行分類討論能得到P點的軌跡類型．
（Ⅱ）由，知P點軌跡方程為．S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|，由，得．設(shè)直線EF直線方程為y=kx+2，聯(lián)立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，由此能夠推導(dǎo)出直線的斜率的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵，
實數(shù)λ使得（O為坐標原點）．
∴（1-λ²）x²+y²=2（1-λ²），
①λ=±1時方程為y=0軌跡為一條直線，
②λ=0時方程為x²+y²=2軌跡為圓，
③λ∈（-1，0）∪（0，1）時方程為軌跡為橢圓，
④λ∈（-∞，-1）∪（1，+∞）時方程為軌跡為雙曲線．…（6分）
（Ⅱ）∵，∴P點軌跡方程為．
S_△OBE：S_△OBF=|x₁|：|x₂|
由，得，
則，∴．
設(shè)直線EF直線方程為y=kx+2，
聯(lián)立方程可得：（1+2k²）x²+8kx+6=0，
∵△=64k²-24（1+2k²）＞0，∴，
∵x₁，x₂同號，∴，…（8分）
設(shè)，則，．…（12分）
點評：本題考查曲線類型的判斷，考查直線的斜率的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．