Question

10．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓C₁：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2$\sqrt{2}$，且點(diǎn)$P（0\;，\;\sqrt{3}）$在C₁上．
（Ⅰ）求C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C₁切于A點(diǎn)，與拋物線C₂：x²=2y切于B點(diǎn)，求直線l的方程和線段AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=$\sqrt{2}$，a=$\sqrt{3}$，由a，b，c的關(guān)系可得b=1，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）依題意可知直線l存在斜率，設(shè)直線l：y=kx+m，代入橢圓方程和拋物線的方程，運(yùn)用判別式為0，解得k，m，再由兩點(diǎn)的距離公式可得AB的長．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a^2}-{b^2}=2\\ \frac{{{{（\sqrt{3}）}^2}}}{a^2}=1\end{array}\right.?a=\sqrt{3}，b=1$，
故橢圓C₁的方程為：$\frac{y^2}{3}+{x^2}=1$；
（Ⅱ）依題意可知直線l存在斜率，設(shè)直線l：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{3}+{x^2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒$（3+k²）x²+2kmx+m²-3=0①
∴直線l與橢圓C₁相切$?{△_1}={（2km）^2}-4（3+{k^2}）（m{\;}^2-3）=0?{m^2}={k^2}+3…$②，
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=2y\\ y=kx+m\end{array}\right.⇒$x²-2kx-2m=0③
∴直線l與拋物線${C_2}：{x^2}=2y$相切$?{△_2}={（-2k）^2}+8m=0?{k^2}+2m=0$…④，
由②、④消去k得：m²+2m-3=0，解得m=-3或m=1，
由②知m²≥3，故m=1不合舍去，由m=-3得$k=±\sqrt{6}$，
∴直線l的方程為$y=±\sqrt{6}x-3$，
當(dāng)直線l為$y=\sqrt{6}x-3$時，由①易得$A（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-1）$，
由③易得$B（\sqrt{6}，3）$，此時|AB|=$\frac{{2\sqrt{42}}}{3}$；
當(dāng)直線l為$y=-\sqrt{6}x-3$時，由圖形的對稱性可得|AB|=$\frac{{2\sqrt{42}}}{3}$．
綜上得直線l的方程為$y=\sqrt{6}x-3$或$y=-\sqrt{6}x-3$，線段|AB|=$\frac{{2\sqrt{42}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線與橢圓相切、與拋物線相切的條件：判別式為0，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．