Question

3．已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；
（3）若當(dāng)x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{7π}{12}$]時(shí)，f（x）的反函數(shù)為f^-1（x），求f^--1（1）的值．

Answer 1

分析 （1）利用和差公式、三角函數(shù)的周期性即可得出．
（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性最值即可得出；
（3）利用互為反函數(shù)的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）f（x）=2cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
∴f（x）的最小正周期T=π
（2）當(dāng)2x+$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{2}$，即x=kπ-$\frac{5π}{12}$（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值-2．
（3）令2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=1，又x∈[$\frac{π}{2}，\frac{7π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{2}$]，∴2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
則x=$\frac{π}{4}$，故f^--1（1）=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和差公式、三角函數(shù)的周期性、三角函數(shù)的單調(diào)性最值、互為反函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．