Question

14．已知橢圓C滿足：過橢圓C的右焦點F（$\sqrt{2}$，0）且經過短軸端點的直線的傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設O為坐標原點，若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運用直線的斜率公式，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）先表示出線段AB長度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得c=$\sqrt{2}$，設短軸的端點為（0，-b），
可得$\frac{0-（-b）}{\sqrt{2}-0}$=tan$\frac{π}{4}$=1，解得b=$\sqrt{2}$，
∴a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）設A（t，2），B（x₀，y₀），x₀≠0，則
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴tx₀+2y₀=0，
∴t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
∵x₀²+2y₀²=4，
∴|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（x₀+$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+（y₀-2）²
=x₀²+y₀²+$\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=x₀²+$\frac{4-{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{2（4-{{x}_{0}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}}$+4=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4），
因為$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），
當且僅當$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$=$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即x₀²=4時等號成立，
所以|AB|²≥8．
∴線段AB長度的最小值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程與性質，考查基本不等式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．