Question

16．已知偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，給出下列判斷：
①f（-3）=0；②f（x）在[1，2]上是增函數(shù)；③f（x）的圖象關(guān)與直線x=1對(duì)稱；④函數(shù)f（x）在x=2處取得最小值；⑤函數(shù)y=f（x）沒(méi)有最大值，其中判斷正確的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)和條件，得出函數(shù)的周期為2，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，模擬函數(shù)圖象，判斷結(jié)論即可．

解答 解：由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（4+x）=f（x），所以函數(shù)的周期是4．
當(dāng)x=0時(shí)，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因?yàn)閒（5）=f（4+1）=f（1）=0，
∴f（-3）=f（1）=0所以①正確；
因?yàn)閥=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，f（x+2）=-f（x），所以函數(shù)在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，所以②不正確；
因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)，所以對(duì)稱軸為x=0+2k，所以③不正確．
因?yàn)榕己瘮?shù)y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，f（x+2）=-f（x），所以函數(shù)在區(qū)間[1，2]單調(diào)遞減，[2，3]單調(diào)遞增，所以在x=2處取得最小值，故④正確；
顯然函數(shù)的最大值為f（0）故⑤錯(cuò)誤；
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性．需對(duì)函數(shù)性質(zhì)深刻理解．