Question

14．（1）已知關(guān)于方程x²+2（m-1）x-2m=0的兩根都在[-2，2）內(nèi)．則實(shí)數(shù)m的取值范圍是什么？
（2）關(guān)于x的方程2kx²-2x-3k-2=0的兩實(shí)根一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是什么？
（3）方程x²-（a+4）x-2a²+5a+3=0的兩根都在區(qū)間[-1，3]上，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（4）方程x²-2ax+4=0的兩根均大于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象，建立不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=x²+2（m-1）x-2m，則$\left\{\begin{array}{l}{△=4（m-1）^{2}+8m≥0}\\{-2≤1-m＜2}\\{4-4（m-1）-2m≥0}\\{4+4（m-1）-2m＞0}\end{array}\right.$，∴0$＜m≤\frac{4}{3}$；
（2）因?yàn)榉匠逃袃蓪?shí)根，所以二次項(xiàng)系數(shù)不為0，則k≠0．
又因?yàn)榉匠?kx²-2x-3k-2=0的兩實(shí)根，一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，則存在兩種情況：
情況1：當(dāng)k＞0時(shí)，：函數(shù)f（x）=2kx²-2x-3k-2 圖象開口向上，此時(shí)只需f（1）＜0 即可．
即 2k-2-3k-2＜0 解得 k＞-4．結(jié)合前提條件有k＞0．
情況2：當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)2kx²-2x-3k-2 圖象開口向下，此時(shí)只需f（1）＞0，即可
即 2k-2-3k-2＞0 解得 k＜-4．結(jié)合前提條件有k＜-4．
綜上，滿足題意的 k的取值范圍是k＜-4 或 k＞0．
（3）令g（x）=x²-（a+4）x-2a²+5a+3，由x²-（a+4）x-2a²+5a+3=0的兩根都在區(qū)間[-1，3]，
可得$\left\{\begin{array}{l}{（a+4）^{2}+8{a}^{2}-20a-12≥0}\\{-1≤\frac{1}{2}（a+4）≤3}\\{1+a+4-2{a}^{2}+5a+3≥0}\\{9-3（a+4）-2{a}^{2}+5a+3≥0}\end{array}\right.$，由此求得0≤a≤1；
（4）要使兩根均大于1，必須$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-16≥0}\\{1-2a+4＞0}\\{a＞1}\end{array}\right.$，解得2≤a＜$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查的是方程根的分布問題，對(duì)于此類題目可以轉(zhuǎn)化為求拋物線零點(diǎn)分布的問題，利用函數(shù)思想解答，對(duì)學(xué)生做題的靈活性要求較高．